Олімпіада з математики

Результати ІІ (районного) етапу

 Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики  у 2017/2018 н. р.

Всього взяли участь – 46 учнів  6-11 класів

6 клас – 9 учнів

7 клас – 9 учнів

8 клас – 6 учнів

9 клас – 10 учнів

10 клас – 4 учнів

11 клас  – 8 учні

 

Посіли  призові місця :

6 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Кобець Тетяна

 

ОНЗ “Петрівський  НВК” Ланецька О.А.
ІІ Зінченко Денис

 

Філія “Володимирівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів” Малашевич О.Г.
ІІІ Губа Владислав  ОНЗ  “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів імені Т.Шевченка” Заєц Т.А.

 

7 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Савченко Катерина

 

Філія “Дмитрівська ЗШ І-ІІІ ступенів” Бункевич О.В.
ІІ Кучерявий Костянтин

 

ОНЗ “Богданівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів імені І.Г.Ткаченка” Рябченко Т.П.
ІІІ Свєтанков Владислав  ОНЗ  “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів імені Т.Шевченка” Романова Н.В.

 

8 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Нікітін Віталій

 

Філія  “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів” Бункевич О.В.
ІІ  Береговий Сергій Філія “Диківська ЗШ І-ІІІ ступенів” Півень М. Я.
ІІІ Кобилінська Світлана

 

ОНЗ  “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів імені Т.Шевченка” Саприга Є.Є.
ІІІ Нікітін Володимир ОНЗ “Суботцівська ЗШ І-ІІІ ступенів” Савлук А.Г.

 

9 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Чернявська Ілона ОНЗ “Петрівський  НВК” Ланецька О.А.
ІІ  Філоненко Сергій Філія “Богданівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів” Стрілець Л.Ф.
ІІІ Терпак Олександр Філія “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів” Бункевич О.В.

10 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Слівінський Сергій Філія “Дмитрівська ЗШ  І-ІІІ ступенів” Степанова О.М.
ІІ  Верієнко Каріна Філія “Богданівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів” Стрілець Л.Ф.
ІІІ Кучерява Анастасія ОНЗ “Богданівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів імені І.Г.Ткаченка” Рябченко Т.П.

11 клас

Місця П  І Навчальний заклад Вчитель
І Тарасевич Ірина Філія “Богданівська  ЗШ  І-ІІІ ступенів” Левченко Л.О
ІІ  Потапова Юлія ОНЗ “Петрівський  НВК” Ланецька О.А.
ІІІ Михалевич Альона ОНЗ “Суботцівська ЗШ І-ІІІ ступенів” Смілик Н.С.

  Вітаємо переможців!

 

Управління освіти, науки, молоді та спорту

 Кіровоградської обласної державної адміністрації

 Комунальний заклад « Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського»

 Завдання ІІ туру Всеукраїнської олімпіади з математики

 6 клас

  1. Два жуки змагаються з бігу на 50м. Перший жук пробігає за 5 секунд, а другий – за 4,6 секунд. Після кожних 10м жуки зупиняються на перепочинок. Перший – на 10 секунд, а другий – на 15 секунд. Який жук фінішує першим?

 

  1. Є сім зовні однакових монет, серед яких п’ять справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити три справжні монети?

 

  1. Павук за день піднімається по стовпу на 2м, а за ніч спускається на . Через скільки днів він долізе доверху, якщо висота стовпа 30м?

 

  1. Риби зібрали подарунок для Русалочки – 1000 перлин. Кількість перлин, принесених кожною рибкою, можна записати числом, що в своєму записі містить лише цифру 5. Якщо скласти вираз у вигляді суми цих чисел, то в записі суми нарахували 20 п’ятірок. Порахуй, скільки рибок привітали Русалочку.

Кожне завдання оцінюється в 5 балів, на виконання завдань відводиться 3 години. Використання калькуляторів заборонено

Розв’язки – 6 клас:

  1. Розв’язання:

Перший жук затратить 50 +10+ 50 +10+ 50+ 10 +50+ 10 +50=290 (секунд). Другий жук затратить 46 +15+46 +15+ 46+ 15+ 46 +15= 46 = 290 (секунд).

 

Або: перший жук: 50 метрів бігу по 5 секунд за кожний метр і чотири перепочинки по 10 секунд: 50×5+10×4=290 (секунд): другий жук: 50 метрів бігу по 4,6 секунди за кожний метр і чотири перепочинки по 15 секунд: 50×4,6+15×4=290 (секунд).

Відповідь: Жуки фінішують одночасно.

 

  1. 2. Розв’язання: Занумеруємо монети числами 1,2,3,…,7. Першим зважуванням порівняємо монети 1,2,3 з монетами 4,5,6. Якщо маси рівні, то в кожній трійці по одній фальшивій монеті, а монета 7 справжня. Тоді наступним зважуванням порівняємо монети 1 і 2. Якщо їхня маса однакова, то вони справжні, а якщо ж ні, то важча з монет 1,2, монета 3 і монета 7 – справжні. Якщо під час першого – початкового – зважування переважила одна з груп, то всі її монети справжні.

Інше розв’язання: позначимо справжні монети (важчі) смайликом «плюс» Å і фальшиві монети смайликом «хрестик» Ä. Тоді у нас п’ять плюсів і два хрестики. Перше зважування: беремо по дві монети на ліву і праву шальку терезів, можливі два варіанти

  1. Рівновага: 1.1. ÅÅ= ÅÅ або 1.2. ÅÄ = ÅÄ (інше неможливо, адже хрестиків – всього два). Друге зважування: порівнюємо монети з правої (або лівої) шальки терезів. Якщо вони у рівновазі, то усі чотири монети є справжніми, а серед трьох, що лишилися – одна справжня і дві фальшиві. А тому задача – відшукати ТРИ справжні – реалізована. Якщо вони не у рівновазі, то та монета, що важча – справжня, але тоді і три монети, які НЕ зважували, теж справжні, тобто маємо чотири справжні (потрібні ТРИ), задача розв’язана.
  2. Нехай права шалька терезів переважила ліву, тоді 2.1. ++ > +х або 2.2. ++ > хх (варіант ++ > хх неможливий, адже хрестиків – всього два). Тоді на правій шальці обидві монети справжні. Друге зважування: беремо монети з лівої шальки терезів і порівнюємо між собою: якщо вони в рівновазі, тоді це другий варіант, дві монети з правої шальки – справжні і три монети, що не зважувались, – теж справжні (маємо п’ять справжніх монет). Якщо ж одна шалька переважила іншу – маємо справжню (важчу) монету плюс дві справжні з правої шальки терезів.

 

  1. Розв’язання:

За добу павук піднімається на . Отже за 28 днів він опиниться на висоті 28м. За 29-й день, піднявшись на , він досягне вершини стовпа.

Відповідь: 29 днів.

 

  1. 4. Розв’язання:

5+55+55+55+55+55+55+55+55+555=1000 (вісім доданків 55)

Відповідь: 10 рибок

7 клас

  1. За 9 однакових книжок заплатили більше ніж 11 грн, але менше ніж 12 грн. За 13 таких книжок заплатили 15 грн і декілька копійок, але не більше ніж 16 грн. Яка вартість однієї книжки?

 

  1. Довести, що добуток п’яти послідовних цілих чисел ділиться на 120.

 

  1. Як можуть троє на двомісному мотоциклі за час, не більший, ніж 3 години, подолати шлях у 60 км, якщо швидкість мотоцикла 50км/год, а пішохода – 5км/год.

 

  1. Двоє гравців по черзі на стіл прямокутної форми ставлять фігурки

∆ або Ō так, щоб вони не накривалися та не виходили за межі столу. Виграє той, хто покладе останню фігурку. Хто з гравців (перший чи другий) може забезпечити собі виграш? Відповідь обґрунтувати.

  1. Скільки існує трикутників, довжини сторін яких є цілими числами, а периметр дорівнює 30?

Розв’язки

 Вказівка. Нехай х – вартість однієї книжки. Тоді за умовою задачі

Відповідь:

  1. Вказівка. Розглянемо добуток , де n – ціле число. Серед 5 послідовних чисел знайдеться одне число, яке ділиться на 5. Тому добуток ділиться на 5. Серед 4 послідовних чисел знайдеться одне число, яке ділиться на 4, але два з цих чисел парні. Тому добуток ділиться на 8. Серед 3 послідовних чисел  знайдеться одне число, яке ділиться на 3. Тому добуток ділиться на 3. Отже, число    ділиться на 5×8×3, що і треба було довести.

 

  1. Вказівка: Нехай А – водій мотоцикла, а В і С –пішоходи. Нехай за першу годину С відправляється пішки, а А відвозить В на 27,5-й кілометр (В тут, наприклад, зупиняється) і А повертається за С на 5-й кілометр (27,5+22,5=50). За другу годину А відвозить С з 5-того на 55-й кілометр (55–5=50), а В за другу годину проходить 5км (В: 27,5+5=32,5). За третю годину С проходить останні 5км, а А повертається за В (В знаходиться на 32,5 км від початку, А – на 55 км від початку; для А дорога за пішоходом В 55–32,5=22,5 та разом з ним 60–32,5=27,5 км, разом 50 км) і відвозить його до 60-го кілометра.

Зауважимо, що якщо після першого пункту (27,5 км) В продовжить рух, то вони упораються за час менший, ніж три години.

 

  1. Вказівка: Виграє перший гравець. Він ставить у центр круг, а потім ставить свої фігури симетрично відносно центра кола до ходів другого гравця.

 

  1. Вказівка: Нехай a, b, c – довжини сторін трикутника. За умовою задачі a+b+с =30. Без обмеження загальності можна вважати, що a b c. Відрізки a,b,c утворюють трикутник тоді і тільки тоді, коли с b+а. Отже,

с 30–с = а+    Тому 10  і 15–    Ці умови є і достатніми, щоб відрізки з довжинами b, c, 30–b–c утворювали трикутник. Це випливає з нерівностей 0 . Оскільки при різних впорядкованих парах ( ;с) трикутники з сторонами а,  ,с між собою не рівні, то достатньо обчислити їх кількість.

Якщо с=14, то 8      Трикутників 7.

Якщо с=13, то 8  Трикутників 5.

Якщо с=12, то 9       Трикутників 4.

Якщо с=11, то 9,5    Трикутників 2.

Якщо с=10, то 10     Трикутник 1.

Всього 19 трикутників.

Відповідь: 19.

8 клас

1. Розв’яжіть рівняння:6х+ 4у = 2017 на множині цілих чисел.

 2. Пасажир їде в поїзді, швидкість якого 60 км/год., і бачить, що повз вікно проїжджає зустрічний поїзд за 4 с. Яка швидкість зустрічного поїзда, якщо його довжина 120 м?

3. Заданий ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей рівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.

4. Усі натуральні числа від 1 до 100 розбили на дві групи: парні та непарні числа. Визначте, в якій з груп сума всіх цифр, що використовується для запису їхніх чисел, більша і на скільки.

 5. Майстер проводив сеанс одночасної гри в шахи. За перші дві години він виграв 10% партій, а 8 партій програв. До закінчення сеансу він виграв у 10% суперників, що залишилися, одну партію програв, а останні 8 партій звів у нічию. На скількох дошках проводилась гра?

 

Розв’язки

  1. Рівняння не має розв’язки на множині цілих чисел, бо ліва частина рівняння при будь-яких цілих х і у є парним числом, права – число непарне.Позначимо через x швидкість зустрічного поїзда. Тоді поїзди рухаються назустріч один одному зі швидкістю (x+60) км/год. З цією швидкістю вони за 4 секунди пройдуть 120 м. Тому маємо рівняння (60+ x) =0,12, з якого знаходимо x=48. Відповідь: 48 км/год.
  2. Розіб’ємо цей ромб спочатку на два правильних трикутники. А тепер кожний з них розіб’ємо на 4 рівних рівносторонні трикутники зі стороною 3см. Усього маємо 8 трикутників, а точок 9, то за принципом Діріхле принаймні дві з них попадуть у один трикутник. Але найбільша відстань між точками в цьому трикутнику не перевищує 3 см, що й треба було довести.

 

3.Нескладно підрахувати, що для всіх двоцифрових чисел сума цифр непарних чисел більша на 45 за суму цифр парних чисел (утворимо пари 10 і 11; 12 і 13; 18 і 19; 20 і 21; …; 98 і 99 – усього 45 пар, різниця сум цифр у кожній парі дорівнює 1). Для чисел 1,3,5,7,9 і 2,4,6,8,100 така різниця дорівнює 4 (пари 2 і 3; 4 і 5; 6 і 7; 8 і 9; 100 і 1, перші чотири пари дають різницю сум цифр одиницю, остання пара – нуль). 45+4=49. Відповідь: 49.

 

Якщо n – кількість зіграних партій, то задача зводиться до розв’язування рівняння

(0,1×n+8)+(0,1×( n– (0,1× n +8))+1+8)=n. Звідси  n=20.

 Відповідь: 20.

9 клас

  1. Розв’яжіть рівняння + =0.
  2. Знайдіть усі цілі n, для яких числа взаємно прості.
  3. Вулицями міста рухаються 487 тролейбусів, у кожному з яких може знаходитись не більше, ніж 70 людей. Крім водія, у тролейбусі завжди їде кондуктор. Доведіть, що обов’язково знайдуться 8 тролейбусів, у яких їде однакова кількість людей.
  4. У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 4 рази більша за висоту, проведену з вершини прямого кута. Знайти гострі кути трикутника.
  5.  Є ланцюжок з n (n>6) сосисок. Два коти по черзі перегризають по одній перемичці між сосисками і з’їдають утворені одинарні сосиски. Виграє той кіт, який з’їсть більше сосисок. Опишіть виграшну тактику кота-переможця.

  1. Розв’язання: Якщо n – непарне, то виграє другий кіт, якщо ж n – парне, то виграє перший кіт. Нехай n – непарне, тобто n=2k+1. Занумеруємо сосиски числами від 1 до n. Сосиску з номером k+1 назвемо центральною. Другому коту кожним своїм ходом потрібно перегризти перемичку симетричну (відносно центральної сосиски) тій, яку перегриз на попередньому кроці перший кіт. Тоді він з’їсть сосисок не менше, ніж перший. Причому перший кіт при такій грі не зможе з’їсти центральну, бо її кінці (перемички) симетричні один одному відносно цієї сосиски. Отже, другий кіт з’їсть не менше k+1 сосиски і виграє.

Нехай n – парне, тобто n=2k. Занумеруємо сосиски числами від 1 до n. У такій ситуації першому коту потрібно з’їсти одну з крайніх сосисок. Тоді перед другим котом виявиться непарна кількість сосисок, а це вже описана програшна тактика для такого кота. Тобто далі першому потрібно відповідати симетричними (відносно центральної сосиски) ходами. При такій стратегії перший кіт з’їсть не менш як на дві сосиски більше, ніж другий.

10 клас

  1.  Розв’яжіть рівняння                                                                -10 -2(а-11) +2(5а+6)х+2а + =0.

 

Робочий день скоротився з 8 год. до 7 год. На скільки відсотків потрібно підняти продуктивність праці, щоб при тих самих розцінках заробітна плата зросла на 5%?

  1. У класі 28 учнів. Середній зріст всіх учнів цього класу дорівнює 150 см. Середній зріст всіх хлопчиків дорівнює 155 см, а середній зріст всіх дівчаток дорівнює 148 см. Скільки дівчаток в цьому класі? Відповідь обґрунтуйте.

 

Вісім однакових кубиків з ребром, довжина якого дорівнює 1, зафарбували так, що 24 їхні грані білі, а 24 – чорні. Доведіть, що з них можна скласти куб, у якого площа частини поверхні, зафарбованої білою фарбою, така ж, як площа частини поверхні, зафарбованої чорною фарбою.

  1.  Розв’язання: Нехай m – кількість хлопчиків в цьому класі, а d – кількість дівчаток. Тоді сумарний зріст усіх хлопчиків дорівнює S=m×155 см, а сумарний зріст всіх дівчаток дорівнює s =d×148 см. Отже, сумарний зріст всіх учнів цього класу S+ s= m×155+ d×148 (см), а з іншої сторони в класі 28 учнів і середній зріст їх дорівнює 150см, тоді сумарний зріст всіх учнів дорівнює 28×150=4200см. Отже m+ d=28 і (28–d)×155+ d×148=4200.Розв’язавши рівняння, одержимо d=20. У класі 20 дівчаток.Відповідь: 20.

Розвязання.Складаємо куб довільним чином. Нехай на його поверхні буде а білих і b чорних квадратів. Зрозуміло, що а+b=24. Розглянемо число х= а– b. Воно парне. Якщо х=0, то а= b, і задача розв’язана. В іншому разі поворот одного з кубиків на кут  відносно однієї з осей, що проходить через центри протилежних граней, залишає число х незмінним або змінює його на 2.  За три такі операції можна досягти, щоб грані кубика, які були на поверхні куба, сховалися всередину, а ті, що були всередині, опинилися на поверхні. За 24 такі операції число х дорівнюватиме (24 – а) – (24 – b) = b – а = –( а – b), тобто стане протилежним початковому значенню. Отже, на якомусь кроці воно дорівнюватиме нулю.

11 клас

4.В середині трикутника АВС вибрані три точки K, L, M так, що відстані від точки K до сторін трикутника дорівнюють 4 см, 2 см і 10 см, від точки L, відповідно, – 1 см, 11 см і 3 см, від точки M, відповідно, – 2 см, 13 см і 1 см. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник АВС.

5. У країні  міст, які розташовані у вигляді квадрата розмірами nхn. Відстань між сусідніми містами – центрами відповідних квадратиків – становить 10км. Міста сполучаються системою доріг, що складаються із  прямолінійних ділянок, які паралельні до сторін квадрата. Якою найменшою можливою може бути довжина цієї системи доріг, якщо відомо, що з довільного міста країни можна дістатися до будь-якого іншого?

Відповіді: